Painovoima-aaltojen ja valon nopeus

[mistral]

 

Päästäänkö tällä  E^2 = p^2 c^2 + m0^2 c^4 äärettömään energiaan? Eikö tuon pitäisi divergoida jotta tulos olisi ääretön? Tarkoitan, eikö massallisen kappaleen energia mene äärettömäksi jos se saavuttaa valon nopeuden ja siksi kaavasta pitäisi saada ääretön tulos?


Voi olla Newtonin saa unohtaa kokonaan kun mennään suhteellisuusteoriaan. Ajattelin vaan että fyysinen todellisuus rakentuu newtonilaisesta pohjasta johon lisätään relativistisen massan lisä mutta ehkä todellisuus ei toimi niin.

[Lauri Kangas]

Päästäänkö tällä  E^2 = p^2 c^2 + m0^2 c^4 äärettömään energiaan? Eikö tuon pitäisi divergoida jotta tulos olisi ääretön? Tarkoitan, eikö massallisen kappaleen energia mene äärettömäksi jos se saavuttaa valon nopeuden ja siksi kaavasta pitäisi saada ääretön tulos?

Kyllä. Se on tuo p kun kasvaa äärettömäksi silloin.

Voi olla Newtonin saa unohtaa kokonaan kun mennään suhteellisuusteoriaan. Ajattelin vaan että fyysinen todellisuus rakentuu newtonilaisesta pohjasta johon lisätään relativistisen massan lisä mutta ehkä todellisuus ei toimi niin.

Newtonin saakin unohtaa kun mennään suhteellisuusteoriaan. Mutta tuon jälkimmäisen ajattelit täysin väärin päin. Fyysinen todellisuus käyttäytyy silleen niinkuin se relativistinen homma ennustaa. Vain jos nopeudet on tarpeeksi pieniä, ne suhteellisuusteorian kaavat on lähempänä niitä newtonilaisia - niin lähellä, että voidaan rauhassa käyttää niitä.

Olen nähnyt sulta tällä foorumilla aika syvällisiäkin johtopäätelmiä yhdestä sun toisestakin suhteellisuusteorian haarasta. Todella monimutkaisia juttuja ja päätelmiä esim. mustista aukoista. Mulla on maisterintutkinto fysiikasta mutta en itsekään viitsi noita ideoita viljellä koska tiedän, etten ole perehtynyt asiaan läheskään riittävästi.

Sen sijaan esim. tuo energian ja liikemäärän yhteys on lukiofysiikkaa. Kannattaisi ihan oikeasti aloittaa siltä tasolta. Ei niiden huimempien johtopäätelmien luokse ole minkäänlaista oikotietä - perusmatikka on osattava!

[mistral]

Sen sijaan esim. tuo energian ja liikemäärän yhteys on lukiofysiikkaa. Kannattaisi ihan oikeasti aloittaa siltä tasolta.

Kun vaan lukee populaarikirjoja, niistä tulee yksittäisiä rakennuspalikoita fysiikan koneistoon. Aina joskus joku palikka löytää paikkansa ja häkkyrä rakentuu 

[Lauri Kangas]

Kun vaan lukee populaarikirjoja, niistä tulee yksittäisiä rakennuspalikoita fysiikan koneistoon. Aina joskus joku palikka löytää paikkansa ja häkkyrä rakentuu 

Ei niillä rakennuspalikoilla tee mitään jos ei ole perustukset kunnossa, siis matikka. Ehkä korttitalon voit noilla eväillä rakentaa. Kunnes joku tulee näyttämään että sulla on täällä alanurkassa väärä kortti ja nappaa sen pois.

Mulla on sulle harjoitustehtävä. Sijoita tuohon kaavaan nuo neljä mainittua keissiä: 1) ei-relativistinen nopeus 2) massaton fotoni 3) levossa oleva kappale 4) nopeus lähestyy valonnopeutta. Ja kokeile saatko oikeat energiat 1) 1/2 mv^2 + mc^2,  2) pc,  3) 0,  4) ääretön.

Jos ei vielä selvinnyt, niin tuo kaavan p on liikemäärä joka on se ihan normaali newtonilainen liikemäärä mv kerrottuna (tai siis jaettuna) sillä Lorentzin kertoimella, joka varmastikin on tähän mennessä oltava tuttu.

[mistral]

Jos valitaan hitaaksi (ei-relativistiseksi) nopeudeksi vaikka 0,5km/s (1800km/t), niin nopeus tiedetään. Nyt pitäisi saada selville massa jotta liikemäärä voitaisiin laskea. Miten Lorenzin-muunnoksella saadaan selville massa? Vai pitääkö se selvittää jollain toisella tavalla?

Siis jos lepomassa olisi 100kg, niin miten sen todellinen massa lasketaan 0,5km/s nopeudelle?

[Eusa]

Nykyfysiikkaan ei kuulu muuta massaa kuin lepomassa.

[Lauri Kangas]

Jos valitaan hitaaksi (ei-relativistiseksi) nopeudeksi vaikka 0,5km/s (1800km/t), niin nopeus tiedetään. Nyt pitäisi saada selville massa jotta liikemäärä voitaisiin laskea. Miten Lorenzin-muunnoksella saadaan selville massa? Vai pitääkö se selvittää jollain toisella tavalla?

Siis jos lepomassa olisi 100kg, niin miten sen todellinen massa lasketaan 0,5km/s nopeudelle?

m0 = 100 kg, p = gamma * m0 * v

gamma on se lorentsin kerroin jossa on v:tä ja c:tä neliöjuuren sisällä (ja neliöjuuri menee tietysti nimittäjään).

Niinkuin Eusa sanoi, niin unohda kaikki ajatukset nopeuden mukana kasvavasta liikemassasta. Se ajattelutapa on hylätty jo vuosikymmeniä sitten.

[Eusa]

Yritän valottaa miksi liikemassa on käsitteenä turmiollinen.

Tarkastellaan maapallolta liikkeelle lähtevää avaruusalusta. Kun tarkastellaan Maan koordinaatistossa, jossain vaiheessa jatkuvasti kiihdyttävä kohde saavuttaa relativistisia (eli suhteellisen lähelle valonnopeustta c yltäviä) nopeuksia. Maan koordinaatistosta laskien alukselle on vaikempaa saada lisää nopeutta samalla voimalla kuin aluksi, kun nopeus Maan suhteen oli vähäinen.

Olkoon aluksella nyt nopeutta Maan suhteen 0,95 c. Sitten voidaan unohtaa Maa. Alus yhyttää aivan maapallon kaltaisen yksinäisen planeetan ja nimeää sen Maa2:ksi. Aluksella huomataan, että Maa2 liikkuu aluksen menosuuntaan hieman nopeampaa kuin alus itse. Päätetään kaksinkertaistaa moottorien teho. Huomataan, että vaikutus Maa2:n suhteen on aivan sama kuin oli matkan alkaessa sama manööveri Maan suhteen.

Ainostaan lepomassalla on siis merkitystä.

Alueellisella yhteisen keskiönsä suhteen alle c:n nopeudella vaikuttavalla energialla (3D-pallokuori, joka liikkuu nopeudella c 4-ulotteisessa Minkowskin kuvauksessa ajan suuntaan) on oleellinen absoluuttinen hitaus-(/gravitaatio-)vaikutuksensa avaruusajassa - liikemäärä asetetaan siis nollaksi. Kun tarkastellaan jonkin pallokuoren sisällä kahden osuuden aiheuttamaa massajakaumamuutosta, silloin pelataan suhteellisella liikemäärällä (jolloin osuudella on alle c:n nopeus ajan suuntaan, mutta yhteisesti yhteisen massakeskipisteen nopeus on aina c ajassa).

Muistutettakoon, että määrittelin massan aikaisemmin ketjussa kaiken tietyn pallosymmetrisen alueen sisällä pysyvän alle nopeudella c vaikuttavan energian summana. M = E/cc. Voi ajatella niin, että energia voi vaikuttaa alueen massa-/gravitaatiokaarevuuteen sillä määrällään, jonka se viipyy alueella suhteessa suoraviivaisesti alueen läpäisevään nopeudella c etenevään vaikutukseen nähden, joka vaikuttaa massaan ja gravitaatioon siis nollan verran - 0,999 c -nopeudella etenevä vaikuttaa hivenen ja alle 0,5 c -nopeuksiset jo aivan klassisesti. Tässä on vielä tutkittavaa suhteellisuusperiaatteen pohjalta; mm. vain täysin tyhjillä alueilla valonluonteinen energiasiirtymä ei kaareudu ja siis hidastu osallistuen aluemassaan. Onko silloin kyseessä suhteellinen antigravitaatio eli pimeän energian kaltainen ilmiö vai ei? Aihe on vielä vailla hyvää vastausta. Havaintomme ilmiöistä pitkillä etäisyyksillä ja kosmologisten rakenteiden skaalassa ovat vielä monitulkintaisia ja hakevat yleisen suhteellisuusteoriankin alaisuudessa johtopäätöksiään...

Tehokkain kiihdyttämisen tarkastelu tapahtuu siis kappaleen mukana kulkevassa koordinaatistossa, jolla tarkoitan inertiaalikoordinaatistoa, missä tarkasteltavan kappaleen nopeus on nolla (eikä siihen virtuaalisesti kohdistu voimia), mutta koordinaatisto ei ole ns. metrisesti itseiskiihtyvä kaareutunut usean rakenteellisesti vuorovaikuttavan määrityspisteen yhteinenkoordinaatisto (jollainen on tarkastelussa oltava, kun huomioidaan vaikuttava voima / kiihtyvyydet) vaan näennäisesti kiihtyvä laakea inertiaali ns. vapaan putoamisen yhteen tarkastelupisteeseen sidottu rehellinen newtonilainen euklidinen massakeskipistekoordinaatisto. Tuosta koordinaatistovertailusta päästään helposti massan ja gravitaation olemukseen rakenteellisena kiihtyvyyskenttänä ja avaruuden vääjäämättömään laajentumiseenkin, mutta ei sellaisista tässä yhteydessä enempää.

[mistral]

m0 = 100 kg, p = gamma * m0 * v

gamma on se lorentsin kerroin jossa on v:tä ja c:tä neliöjuuren sisällä (ja neliöjuuri menee tietysti nimittäjään).

Niinkuin Eusa sanoi, niin unohda kaikki ajatukset nopeuden mukana kasvavasta liikemassasta. Se ajattelutapa on hylätty jo vuosikymmeniä sitten.

Pääsin remontista irti vähäksi aikaa ja yritin sijoittaa 100kg ja 500m/s kaavoihin mutta lukemat on niin suuria että luovutan.

Tässä laskujani: Lorenz-kerroin: neliöjuuri 1-v^2/c^2  Tulos 0,9999999999...

josta p=50 000,000005

sijoitettuna kaavaan E^2=p^2c^2+m0^2c^4 niin siitä seuraa

E^2= 2500 000 000,5kertaa9X10^16+10 000kertaa8,1x10^33

Ei näitä voi tavallinen ihminen laskea. Mutta 100kg massaan sain painoa lisää 0,01 milligrammaa 500m/s nopeudella.

Kiitti kuitenkin näistä kaavoista, auttaa ymmärtämään asioita.

[Lauri Kangas]

No, en nyt varsinaisesti tarkoittanut että tuohon kaavaan tarvitsisi sijoitella mitään arkipäiväisiä lukuarvoja. Sellaista ei juuri harrasteta fysiikan opetuksessa, lähinnä siksi että tulos ei ole kauhean kiinnostava. Ainoastaan joku toinen lukuarvo. Ei mulla esimerkiksi ole mitään hajua montako kymmenen potenssia jouleja tulee jos halutaan tietää 100 kg massan sisältämä energia (ihan sikamonta). Kyllä laskin sen kertoo jos sitä muka joskus johonkin tarvitsee.

Kiinnostavaa on se miten kaavat käyttäytyvät erilaisissa rajatilanteissa ja miten ne liittyy toisiinsa.

Mulla on sulle harjoitustehtävä. Sijoita tuohon kaavaan nuo neljä mainittua keissiä: 1) ei-relativistinen nopeus 2) massaton fotoni 3) levossa oleva kappale 4) nopeus lähestyy valonnopeutta. Ja kokeile saatko oikeat energiat 1) 1/2 mv^2 + mc^2,  2) pc,  3) 0,  4) ääretön.

Mäpä voin näyttää mitä ajoin takaa. Eli liikemäärä-energia-yhtälö on E² = p²c² + m²c⁴. Merkittiin m0 = m helppouden vuoksi, koska ei ole olemassa kuin lepomassa.

1) tämä olikin vaikeampi kuin muistin. Voin silti näyttää sen kun kerran uhosin, mutta jätetään tuonne viimeiseksi.

2) massaton fotoni eli m = 0.

E² = p²c² + 0*c⁴ = p²c², joten
E = pc

3) levossa oleva kappale, liikemäärä p = 0.

E² = 0*c² + m²c⁴ = m²c⁴ = (mc²)², joten
E = mc²

Huom. kun tuossa yllä ehdotin nollaa, niin tarkoitin että tuon massan energian E = mc² päälle tuleva liike-energia on 0, eli E = mc² + 0.

4) v lähestyy c:tä. Massallisella kappaleella liikemäärähän oli p = mv/sqrt(1-v²/c²), missä sqrt tarkoittaa neliöjuurta.

Kun v -> c niin v²/c² -> 1.
Neliöjuuren alla oleva 1-v²/c² lähestyy silloin nollaa. Siispä sen neliöjuurikin lähestyy nollaa.
Kun nimittäjä lähestyy nollaa, niin p alkaa kasvaa, ja mitä lähemmäs c:tä v menee, sitä lähemmäs ääretöntä p menee.

Siispä E² lähestyy arvoa ääretön²c² + m²c⁴ eli arvoa ääretön. Joten myös E lähestyy ääretöntä.

1) Takaisin tähän keissiin, joka sisältää yhden tempun jota lukiossa ei opeteta.

Edelleen p = mv/sqrt(1-v²/c²) joten
p² = m²v²/(1-v²/c²),
p²c² = m²v²c²/(1-v²/c²).

Siispä
E² = m²v²c²/(1-v²/c²) + m²c⁴, jota voidaan vähän ryhmitellä ottamalla m²c² yhteiseksi:
E² = m²c² (v²/(1-v²/c²) + c²). Vähän pyörittelemällä tuota sulkujen sisällä olevaa palaa, saadaan
E² = m²c² (c²/(1-v²/c²)) = m²c⁴/(1-v²/c²).

Ottamalla neliöjuuri saadaan
E = mc² / sqrt(1-v²/c²).

Tähän asti meni ihan simppelisti, mutta nyt tarvitaan sitä yhtä temppua. Tuollaisesta neliöjuurihökötyksestä on vaikea nähdä mitä tapahtuu tosi pienillä v:n arvoilla. Jos x on pieni, funktio 1/sqrt(1-x²) voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana:
1 + 1/2 x² + 3/8 x⁴ + 5/16 x⁶ + ... jne.

Hyödyntämällä tätä saadaan kirjoitettua
E = mc² (1 + 1/2 (v/c)² + 3/8 (v/c)⁴ + 5/16 (v/c)⁶ + ...)
E = mc² + 1/2 mv² + 3/8 mv⁴/c² + 5/16 mv⁶/c⁴ + ... jne.

Nyt jos siis oli ei-relativistiset nopeudet kyseessä niin v << c, jolloin tuollaiset v⁴/c² ja v⁶/c⁴ menevät todella pieniksi, lähelle nollaa. Jäljelle jää:

E = mc² + 1/2 mv²

Tämä pätee melkein, mutta ei ihan. Erona ainoastaan noi pienen pienet termit, jotka jätettiin hännästä pois.

Jos näistä jää jotain kysyttävää niin anna tulla.

[Lauri Kangas]

Vielä selvennyksenä tuohon ykköskeissiin:

Jos oltiin kiinnostuneita hitaan massallisen kappaleen kokonaisenergiasta, niin sellainen saatiinkin jo tuossa puolivälissä:

E = mc² / sqrt(1-v²/c²).

Mutta nyt oltiin kiinnostuneita kineettisestä energiasta, eli siitä kuinka paljon tuo on suurempi kuin pelkkä mc². Sille vastaukselle saatiin likiarvo tuolla Taylor-tempulla, ja vastaus oli siis että suunnilleen 1/2 mv² suurempi.

[Lauri Kangas]

Onko remppakiireet hellittäneet? Oliko esimerkistä hyötyä vai hikoilinko turhaan? 

Jos tykkää videoista, niin tässä yksi. https://www.youtube.com/watch?v=eOCKNH0zaho

[mistral]

Nykyfysiikkaan ei kuulu muuta massaa kuin lepomassa.

Rupesin miettimään tätä juttua ja tuli vaan mieleen yksinkertainen koejärjestely. Pingispallo on avaruudessa ja tarkoitus olisi kiihdyttää se fotonipommituksella c-nopeuteen. Oletetaan että laser onnistuu kohdistamaan kaikki säteet palloon ja sen teho olisi vaikka 1 gigavatti ja tietysti pallo ei saa sulaa pommituksessa. Alussa kiihtyvyys olisi hurja mutta kun punasiirtymä alkaisi heikentämään fotonien törmäysenergiaa, kiihtyvyys laantuisi. Kun pallo olisi lähes valon nopeudessa, punasiirtymä tekisi fotoneista niin heikkoja ettei vauhti enää kiintyisi, tai hivenen mutta se hivenen vaan puolittuisi ikuisesti.

Onko tämä oikea johtopäätös, että vaikka maassa ammutaan 1 gigavatin teholla ikuisesti pingispalloa, se ei kuitenkaan käytännössä kiihdy.

Edelleen jos katsotaan laserin kuluttaman energian määrää ja laskuissa todetaan E=mc^2 mukaan massa vaikka 1000kg, niin vanhanaikaisella ajattelulla pingispallo painaisi nyt 1000kg+omamassa ehkä 5 grammaa.

Jos taas käytetään uudenaikaista ajattelua, pelkkää lepomassaa, niin silloin pallo painaa vain 5g ja tavallaan 1000kg energiaa häviää olemattomiin. Tai eihän se häviä vaan siirtyy eri koordinaatistoon.

Jos nyt olisi sellainen ihmemittari jonka tarkkuus riittäisi mittaamaan pingispallon gravitaation täältä maasta, niin mittaisiko se 1000kg painoisen kappaleen vai 5g kappaleen?


Lisäys: Kun fotoni osuu palloon ja absorboituu, täytyy olettaa fysiikan vastaisesti että kaikki sen energia muuttuu pallon liikkeeksi, tämähän ei todellisuudessa tapahdu vaan suurin osa siitä emittoituu pois. Tein oletuksen vain oikoakseni mutkia suoraksi.

[Eusa]

Simppeli analogia:

Kun hiukkaset ovat lähellä toisiaan, niiden yksikkösiirtymä on merkittävämpi suhteessa niiden väliseen etäisyyteen, kun ne ovat kauempana toisistaan.

Konvertoi analogia nopeuskoordinaatistoon.

[mistral]

Simppeli analogia:

Kun hiukkaset ovat lähellä toisiaan, niiden yksikkösiirtymä on merkittävämpi suhteessa niiden väliseen etäisyyteen, kun ne ovat kauempana toisistaan.

Konvertoi analogia nopeuskoordinaatistoon.

Jos kovertoiminen tarkoittaa muuntamista, se on mitä ajan takaa. Eli kaavan mukaan tarvitaan aina enemmän energiaa, mitä lähempänä c:tä ollaan. Jos kokeessa "mitatut" energiat eri nopeuksilla vastaa suhteellisuusteorian energiakaavaa, silloin koe toimii rautalankamallina ja malli auttaa ymmärtämään miksi c nopeutta ei koskaan voi saavuttaa.

Kun aiemmin käytin rautatievaunuja rautalankamallina, se oli vanhan systeemin malli jossa liikkuva massa lisääntyi äärettömään.

Tämä pingispallomalli olisi uuden systeemin mukainen ja massa ei lisäänny vaan laserin teho heikkenee äärettömän heikoksi punasiirtymän vuoksi, siis ääretönkään laserin teho ei saa palloa c nopeuteen.

Mutta tässä on se vika että jos laitetaan toinen laseri vaikka puolimatkaan ja se liikkuu 0,5c nopeudella pallon suuntaan, niin se pystyy voimallisesti kiihdyttämään palloa. Nyt pallo menee jo ylivalonnopeudella maassa olevaan laseriin nähden! Ja näin pallo siirtyy horisontin taakse sen suhteen. Onko tässä sama asia kuin avaruuden laajenemisessa, tietyn horisontin takana avaruus laajenee valoa nopeammin? Jos on, silloin c nopeus voidaan huoletta ylittää?